カミキリムシが産卵し、幼虫が木の内部を食害しています。放っておくと枝先、または幹が枯れ込む可能性があるので、幼虫を退治する必要があります。
専用の殺虫剤もありますが、家庭での栽培なら手作業でも防除できます。
幼虫は、ところどころに木くずや糞を出すため、鉛筆の芯程度の大きさの小さな穴をあけます。この穴に針金などを差し込んで駆除します。
クワカミキリの被害のようなので、慣れてくると産卵部を簡単に見つけられるはずです。卵は指先で簡単につぶせるので、ためしてください。

クワカミキリが木くずや糞を排出した穴

クワカミキリの産卵跡（木の表皮に傷をつけて産卵します）